誰がすべきと明確な決まりはありません。
喪主とは遺族の代表者であり、葬儀を取り仕切る責任者のことです。
現在は故人様と縁の深い順で決めることが多いです。
例えば、夫が亡くなれば妻が務めます。
しかし、妻が高齢である場合は長男が喪主を務めることもあります。
地域やその家のしきたりもありますので、ご親族やご家族ともご相談下さい。